Propriétés\ des\ milieux : preuve\ des\ versions\ longueurs\ et\ parallélisme

A

B

C

I

J

J'

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Soit\ ABC\ un\ triangle : on\ note\ I\ et\ J\ les\ milieux\ de\ [AB]\ et\ [AC]\ respectivement.

On\ note\ J'\ le\ symétrique\ du\ point\ J\ par\ rarrort\ au\ point\ I.\
\ \ \ \ \ \
On\ se\ place\ dans\ le\ quadrilétère : AJ'BJ.\  \ \ \ \ 
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ sait\ que}}} : les\ diagonales\ [JJ']\ et\ [AB]\ ont\ même\ milieux.\  \ \ \ \ 
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ utilise}}}: 
\\textbf{\textit{Si}}\ un\ quadrilatère\ a\ ses\ diagonales\ qui\ se\ coupent\ en\ leur\ milieu,\
\textbf{\textit{alors}}\ c’est\ un\ parallélogramme\  \ \ \ \ 
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ en\ déduit\ que}}}: AJ'BJ\ est\ un\ parallélogramme. 

On\ sait\ que: AJ'BJ\ est\ un\ parallélogramme.\ \ \ \ 
On\ utilise\ la\ définition\ d'un\ parallélogramme:\
“\textbf{Si}\ un\ quadralitère\ est\ un\ paralllélogramme,\textbf{alors}\ ses\ côtés\ opposés\ sont\ parallèles”.\ \ \
On\ en\ déduit\ que: [AJ]//[J'B],ce\ qui\ se\ traduit\ aussi\ par:(JC)//(J'B).\
\ \
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ sait\ que}}}: AJ'BJ\ est\ un\ parallélogramme.\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ utilise}}}:\
“\textbf{Si}\ un\ quadralitère\ est\ un\ paralllélogramme,\textbf{alors}\ ses\ côtés\ opposés\ ont\ la\ même\ longueur”.\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ en\ déduit\ que}}}: AJ=J'B.\ \ \ \ \
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ sait\ que}}}\ J\ est\ le\ milieu\ de\ [AC].\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ utilise}}} \ la\ définition\ du\ milieu\ d'un\ segment.\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ en\ déduit\ que}}} :AJ=JC.\
\ \ \ \
Finalement:[J'B]//[JC]\ et\ J'B=JC.

On\ se\ place\ dans\ le\ quadrilatère\ BCJJ'.\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ sait\ que}}} : [J'B]//[JC]\ et\ J'B=JC.\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ utilise}}}:\
“\textbf{Si}\ un\ quadrilatère\ a\ deux\ côté\ opposés\ parallèles\ et\ de\ même\ longueur,\
\textbf{alors}\ c'est\ un\ parallélogramme.”\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ en\ déduit\ que}}}:J'BCJ\ est\ un\ paralléogramme.\ \ \ \ \
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ sait\ que}}} :J'BCJ\ est\ un\ parallélogramme.\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ utilise}}}:\
“\textbf{Si}\ un\ quadrilatère\ est\ un\ parallélogramme,\
\textbf{alors}\ ses\ côtés\ opposés\ sont\ parallèles\ et\ de\ même\ longueur.”\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{On\ en\ déduit\ que}}}: (J'J)//(BC)\ et\ J'J=BC.\

\ \
Or\ I\ est\ le\ milieu\ de\ [J'J],donc\ J'J=2\times IJ.\ \ \ \ \
On\ déduit\ de\ J'J=BC\ que\ 2IJ=BC\ \Leftrightarrow IJ=\frac{1}{2}\times BC.\
 

Conclusion:\
On\ vient\ de\ montrer\ que : (IJ)//((BC)\ et\ IJ=\frac{1}{2}\times BC.\
Par\ conséquent :

\textbf{\textit{Propriété\ des\ milieux\ version\ parallélisme}}\ \ \
\textbf{Si}\ une\ droite\ passe\ par\ les\ milieux\ de\ deux\ côtés\ d’un\ triangle,\
\textbf{alors}\ elle\ est\ parallèle\ au\ troisième\ côté\ de\ ce\ triangle.\
\ \ \ \ 
\textbf{\textit{Propriété\ des\ milieux\ version\ longueurs}}\
\textbf{Si}\ un\ segment\ a\ pour\ extrémités\ les\ milieux\ de\ deux\ côtés\ d’un\ triangle,\
\textbf{alors}\ sa\ longueur\ est\ égale\ à\ la\ moitié\ de\ celle\ du\ troisième\ côté\ de\ ce\ triangle.

A = (-0.98, 4.06)
B = (-2.08, 1.16)
C = (2.44, 1.1)
I = Midpoint(A, B)
J = Midpoint(A, C)
J' = Mirror(J, I)
a = Segment(A, I)
b = Segment(B, I)
c = Segment(A, J)
d = Segment(J, C)
e = Segment(B, C)
n = 1 (slider from 1 to 5, step 1)
f = Segment(I, J)
g = Segment(I, J')
h = Segment(A, J')
i = Segment(J', B)
j = Segment(B, J)
k = Segment(J, A)
l = Segment(J', B)
m = Segment(J', A)
p = Segment(B, J)
q = Segment(J', J)
r = Segment(J, C)
s = Segment(B, C)
t = Segment(J', B)
a_1 = Segment(J', I)
b_1 = Segment(I, J)
c_1 = Line(A, e)
d_1 = Line(C, a)
FixeTexte = Intersect(c_1, d_1)
D = Midpoint(A, J)
u = Vector(FixeTexte, D)
E = Midpoint(J, C)
v = Vector(FixeTexte, E)
e_1 = Segment(A, J)
f_1 = Line(I, J)
g_1 = Circle(I, J)
h_1 = Circle(J, I)
F = Intersect(g_1, f_1, 2)
G = Intersect(h_1, f_1, 2)
i_1 = Segment(F, G)